|
KARNAUGH (KARNO) HARİTALARI
(KARNAUGH MAPS) Devre tasarımında lojik eşitlikleri grafiksel olarak sadeleştirmek için yaygın olarak kullanılan yöntemler; 'Karnaugh Haritası' ve 'Quine-McCluskey' yöntemleridir. Bu bölümde Karnaugh haritası yöntemini açıklayacağız. 'Karnaugh haritası' (Karno çizelgesi), sadeleştirilecek eşitliğin bütün değerlerini sıralamak için kullanılan, eşitliğin alabileceği en basit (sade) şekli içeren, hücrelerin oluşturduğu bir yöntemdir. Giriş değişkenlerinin sayısı arttıkça ifadelerin sadeleştirilmesinin zorlaştığı bu yöntem, giriş değişkenleri sayısının 6'ya kadar olduğu durumlarda iyi bir sonuç verir. Genelde kullanılan; 2 giriş değişkenli, 3 giriş değişkenli, 4 giriş değişkenli Karnaugh haritalarıdır. Linklerde gösterilen anlatım ve örneklerle konuyu daha iyi anlayabilirsiniz. Şimdi bu karnaugh haritalarının yaygın kullanım yerlerinden birisi olan, Boolean eşitliklerinin sadeleştirilmesine bakalım. Sadeleştirme işlemi için Boolean eşitliğindeki değişken sayısına uygun Karnaugh haritası çizildikten sonra, eşitlikteki her bir mintermin temsil ettiği hücreye '1' yazılır. Örneğin; A'BC kombinasyonunun karşılığı 011, AB'C' nin karşılığı 100 olduğu gibi. Eşitlikteki kombinasyonların temsil ettiği değerlerin karşılığı olan hücrelere '1' yazılması suretiyle taşınma işlemi bitirilir. Taşınma işlemi bitirildikten sonra gruplandırmalar yapılır. Gruplara ait eşitlikler yazılıp, bu eşitliklerin tek bir eşitlikte mintermlerin toplamı şeklinde yazılması ile sadeleştirme işlemi bitirilir. Örnek 1: F=A'BC+A'B'C'+ABC'+A'BC' lojik eşitliğini sadeleştirelim. Her bir mintermin temsil ettiği Karnaugh haritasındaki hücreye '1' yazılması ile aşağıdaki şekildeki Karnaugh elde edilir. Karnaugh haritasındaki 1'ler gruplandırılırsa; F1 ve F2 olarak ifade edilen iki grup ortaya çıkar.
Grupların ifade ettikleri kombinasyonlar yazılırsa; F1=A'C ve F2=BC' eşitlikleri bulunur ve sadeleştirilmiş ifade F=A'C+BC' şeklinde elde edilir. Bu eşitliğin en sadeleştirilmiş hali ifade eder. Örnek 2: F=∑(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) şeklinde verilen bir minterm ifadesini sadeleştirerek, lojik eşitlik halinde yazalım. İfadedeki rakamları temsil eden hücrelere '1' yazılması ile eşitlik Karnaugh haritasına taşınır. Daha sonra gruplandırma yapılması ve grupların temsil ettiği eşitliklerin yazılması ise sadeleştirme işlemi bitirilir.
Beş ve Altı Değişkenli Karnaugh Haritaları Dörtten fazla sayıdaki değişkenli Karnaugh haritaları ile çalışmak çok kolay değildir. Çok sayıdaki değişkenle işlem yaparken, hücrelerin sayısı 2^5=32, 6 değişkenli bir sistemde hücre sayısı 2^6=64 olur. Beş değişkenli Karnaugh şekli ve 6 değişkenli Karnaugh şekline bakabilirsiniz. Beş değişkenli Karnaugh haritası iki adet dört değişkenli Karnaugh haritasının bileşimi, 6 değişkenli Karnaugh haritası iki adet beş değişkenli haritanin birleşmiş hali olarak düşünülebilir. Farketmeyen Durumlu Lojik Eşitlikler Karnaugh haritasında bulunan 1 ve 0'lar lojik fonksiyonun oluşmasında bir anlam ifade eder. Bununla beraber, giriş değişkenlerinin kesin değerler olmadığı durumlar da bulunabilir. Örneğin; dört bitle ifade edilen onluk sistemde, 9'dan sonraki altı kombinasyon hiçbir zaman oluşmaz. Bu durumda, oluşmayan(kullanılmayan) kombinasyonların aldığı değerler göz ardı edilebilir. 'Fark etmeyen durumlar' olarak isimlendirilen bu durumlar, eşitlikleri basitleştirmeye yardım eder. Fark etmeyen kombinasyonların temsil ettikleri hücrelere '1' veya '0' değerlerini koymak mümkün değildir. Bu nedenle, oluşmayan kombinasyonları temsil eden hücrelere 'X' veya 'd' işareti (1 ve 0 ifadelerini ayırmak için) konur. Karnaugh haritasında gruplandırma yapılırken, fark etmeyenli hücreler 0 veya 1 olarak kabul edilebilir. Karar, hangi kabulün fonksiyonu daha basit hale getireceğine göre verilir. Bunu bir örnekle daha iyi anlayabiliriz. Örnek: F=∑(1,3,7,11,15) ve farketmez durumları d=∑(0,2,5) olan bir fonksiyonu sadeleştirelim. Sadeleştirme işlemi için, eşitlikte bulunan sayıların temsil ettiği hücrelere '1', farketmez durumlarını temsil eden hücrelere 'x' işareti konur. Oluşan '1'ler gruplandırma işlemine tabi tutulur. 'x' işaretli hücreler, 1 veya 0 olarak düşünülebilir. Örnekte fark etmeyen durumlardan birisi '1', diğeri '0' olarak kabul edilmiştir.
Buraya kadar Karnaugh haritalarının sadeleştirmede kullanılmasını inceledik. Şimdi Karnaugh haritalarının lojik devrelerin tasarımında kullanılmasını inceleyelim. Karnaugh Haritası Yardımı ile Lojik Devrelerin Tasarımı Karnaugh kullanılarak yapılacak lojik devre tasarımında, ilk işlem olarak lojik devre tasarımındaki işlem basamakları uygulanıp doğruluk tablosu oluşturulur. Doğruluk tablosundan elde edilen değerler Karnaugh haritasına taşınarak gruplandırmalar yapılır. Grupların temsil ettiği eşitlikler yazılarak lojik fonksiyon elde edilir. Son aşamada ise eşitliği temsil eden devre çizilir. Örnek 1: x₀x₁ iki bitlik bir sayıyı temsil etmektedir. y₀y₁ değişkenleri ise diğer iki bitlik bir sayıyı göstermektedir. x₁, x₀, y₁, y₀ değerlerini giriş olarak kullanan ve x₀x₁ ile y₀y₁ sayılarının eşit olduğu durumlarda çıkışın1 olmasını sağlayan lojik devreyi Karnaugh haritası kullanarak tasarlayalım. Şekle bakın ve nasıl olduğunu anlamaya çalışın.... Örnek 2: Bir sendikanın yönetim kurulunda dört temsilci bulunmakta ve her temsilci sendikaya kayıtlı 560 üyeden belirli sayıdaki üyeyi temsil etmektedi. Kararların alınması için salt çoğunluğun gerekli olduğu yönetim kurulunda, temsilcilerin birer düğmeye basması ile sonucun geçerli olup olmadığını hesaplayarak, geçerli ise bir lambanın yanmasını sağlayacak devreyi Karnaugh haritası kullanarak NAND kapılarıyla tasarlayalım.
İlk işlem olarak, doğruluk tablosu yardımı ile sonucun '1' olacağı kombinasyonları bulmamız gerekir. Sonucun '1' olduğu kombinasyon, evetlerin salt çoğunluğun sağladığı durumlardır.(Tablo a şıkkı) Sonucun 1 olduğu kombinasyonlar Karnaugh haritasına taşınır ve taşınan değerler gruplandırılır. Gruplandırmadan elde edilen mintermler birleştirilirse, istenilen işlemi gerçekleştirecek devrenin lojik eşitliği elde edilir.(Tablo b şıkkı) Lojik eşitliği gerçekleştirecek devre kapılar ile oluşturulacak işlem bitirilir.(Tablo c şıkkı)
|
